Question

2．在△ABC中，已知∠C=90°，AC=6，BC=8．
（1）如图①，⊙O与△ABC的三边都相切，求⊙O的半径r₁；
（2）如图②，⊙O₁与⊙O₂是△ABC内互相外切的两个等圆，且分别与∠A，∠B的两边都相切，求这两个等圆的半径r₂；
（3）如图③，若△ABC内有n个依次外切且都与AB相切的等圆，
⊙T₁、⊙T_n分别与AC，BC相切，求这些等圆的半径r_n．

Answer 1

分析 （1）连接三角形的内心和三角形的各个顶点，根据三角形的总面积等于分割成的三个小三角形的面积，进行计算；
（2）连接两圆的圆心和每个圆的圆心和三角形的三个顶点，把大三角形分割成了三个三角形和一个梯形，根据三角形的总面积等于四部分的面积的和，进行计算；
（3）连接第一个圆和最后一个圆的圆心，以及两个圆的圆心和三角形的三个顶点，根据（2）的思路进行计算．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
如图1，设⊙O₁与Rt△ABC的边AB，BC，CA分别切于点D，E，F．
连接O₁D，O₁E，O₁F，AO₁，BO₁，CO₁．
于是O₁D⊥AB，O₁E⊥BC，O₁F⊥AC．
S${\;}_{△A{O}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$AC•O₁F=$\frac{1}{2}$AC•r₁=3r₁，S${\;}_{△B{O}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$BC•O₁E=$\frac{1}{2}$BC•r₁=4r1，S${\;}_{△A{O}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$AB•O₁D=$\frac{1}{2}$AB•r₁=5r₁，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=24．
又∵S_△ABC=S${\;}_{△A{O}_{1}C}$△AO1C+S${\;}_{△B{O}_{1}C}$+S${\;}_{△A{O}_{1}B}$，
∴24=3r₁+4r₁+5r₁，
∴r₁=2．

（2）如图2，连接AO₁，BO₂，CO₁，CO₂，O₁O₂，则
S${\;}_{△A{O}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$AC•r₂=3r₂，S${\;}_{△B{O}_{2}C}$=$\frac{1}{2}$BC•r₂=4r₂．
∵等圆⊙O₁，⊙O₂外切，
∴O₁O₂=2r₂，且O₁O₂∥AB．
过点C作CM⊥AB于点M，交O₁O₂于点N，则
CM=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，CN=CM-r₂=$\frac{24}{5}$-r₂．
∴S${\;}_{△C{O}_{1}{O}_{2}}$=$\frac{1}{2}$O₁O₂•CN=（ $\frac{24}{5}$-r₂）r₂，
∴S${\;}_{梯形A{O}_{1}{O}_{2}B}$=$\frac{1}{2}$（2r₂+10）r₂=（r₂+5）r₂．
∵S_△ABC=S${\;}_{△A{O}_{1}C}$+S${\;}_{△B{O}_{2}C}$+S${\;}_{△C{O}_{1}{O}_{2}}$+S${\;}_{梯形A{O}_{1}{O}_{2}B}$，
∴3r₂+4r₂+（ $\frac{24}{5}$-r₂）•r₂+（r₂+5）r₂=24，
解得r₂=$\frac{10}{7}$．

（3）如图3，连接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，则
S${\;}_{△A{O}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$AC•r_n=3r_n，S${\;}_{△B{O}_{n}C}$=$\frac{1}{2}$BC•r_n=4r_n．
∵等圆⊙O₁，⊙O₂，…，⊙O_n依次外切，且均与AB边相切，
∴O₁，O₂，…，O_n均在直线O₁O_n上，且O₁O_n∥AB，
∴O₁O_n=（n-2）2r_n+2r_n=2（n-1）r_n．
过点C作CH⊥AB于点H，交O₁O_n于点K，
则CH=$\frac{24}{5}$，CK=$\frac{24}{5}$-r_n．
S${\;}_{△C{O}_{1}{O}_{n}}$=$\frac{1}{2}$O₁O_n•CK=（n-1）（ $\frac{24}{5}$-r_n）r_n，S${\;}_{梯形A{O}_{1}{O}_{n}B}$=$\frac{1}{2}$[2（n-1）r_n+10]r_n=[（n-1）r_n+5]r_n．
∵S_△ABC=S${\;}_{△A{O}_{1}C}$+S${\;}_{△C{O}_{1}{O}_{n}}$+S${\;}_{△C{O}_{1}{O}_{n}}$+S${\;}_{梯形A{O}_{1}{O}_{n}B}$，
∴24=3r_n+4r_n+（n-1）（ $\frac{24}{5}$-r_n）r_n+[（n-1）r_n+5]r_n．
解得r_n=$\frac{10}{2n+3}$．

点评 本题考查圆的有关知识，三角形内切圆，两圆位置关系等知识，解决此题的方法是根据三角形的面积的不同计算方法进行计算，学会利用面积法求直角三角形斜边上的高，属于中考压轴题．