Question

我们把弧长等于半径的扇形叫等边扇形．如图，扇形OAB是等边扇形，设OA=R，下列结论中：①∠AOB=60°；②扇形的周长为3R；③扇形的面积为；④点A与半径OB中点的连线垂直OB；⑤设OA、OB的垂直平分线交于点P，以P为圆心，PA为半径作圆，则该圆一定会经过扇形的弧AB的中点．其中正确的个数为（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：根据弧长的计算公式判断①错误；
根据扇形的周长定义判断②正确；
根据S_扇形=lR（其中l为扇形的弧长）判断③正确；
先由等边扇形的定义得出AB＜OA，再根据等腰三角形三线合一的性质得出AM与OB不垂直，判断④错误；
由线段垂直平分线的性质及三角形两边之和大于第三边得出OP=PA＞OA，又OA=OC，OP+PC=OC，则PC＜OC＜OP=AP，即PC＜圆P的半径，判断⑤错误．
解答：解：①设∠AOB=n°，
∵OA=OB==R，
∴R=，
∴n=＜60，故①错误；

②扇形的周长为：OA+OB+=R+R+R=3R，故②正确；

③扇形的面积为：•OA=R•R=，故③正确；

④如图，设半径OB的中点为M，连接AM．
∵OA=OB==R，
∴AB＜R=OA，
∵OM=MB，
∴AM与OB不垂直，故④错误；

⑤如图，设弧AB的中点为C．
∵OP=PA＞OA，
∵OA=OC，
∴OP＞OC，
∵OP+PC=OC，
∴PC＜OC＜OP=AP，
即PC＜圆P的半径，
∴以P为圆心，PA为半径作圆，则该圆一定不会经过扇形的弧AB的中点C．
故选B．
点评：本题考查了弧长的计算，扇形的周长与面积，等腰三角形、线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，三点共圆的条件，综合性较强，难度适中．