解:(1)当AB不过圆心O时,△ABC为等腰三角形.
延长CD交⊙O于点E,
∵∠BAC+∠DCB=90°,
∴弧CB与弧BE的度数之和等于180°.
∴CE为⊙O的直径.
∵点D是AB的中点,
∴CE⊥AB于点D.
∴AC=BC.
∴△ABC为等腰三角形;
(2)当AB经过圆心O时,△ABC为等腰直角三角形.
同(1)可证△ABC为等腰直角三角形,
又∵AB经过圆心,即AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴△ABC为等腰直角三角形.
分析:分情况进行讨论,(1)当AB不过圆心O时:首先延长CD交⊙O于点E,根据已知推出CE为圆的直径,即可推出AC=BC,即△ABC为等腰三角形.(2)当AB经过圆心O时,在(1)的论证基础上,即可推出△ABC为等腰直角三角形.
点评:本题主要考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定,关键在于根据题意正确地作出辅助线,然后求证CE为⊙O的直径.