Question

如图1，像我们常见的学习用品-圆规．我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么这个简单的图形中，到底隐藏了那些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智解决一下问题：
 （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并证明．
 （2）请你直接利用以上的结论，解决以下三个问题：
   ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C．若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=

 

°．
   ②如图3，BG平分∠ABD，GC平分∠ACD．若∠BAC=50°，∠CDB=140°，求∠BGC的度数．
   ③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G₁，G₂，…，G₉．若∠BDC=160°，∠BG₁C=70°，求∠A的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．
②结合图形可得∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，代入∠DAE=50°，∠DBE=140°即可得到∠ABD+∠ACD的值，再利用上面得出的结论可知∠BGC=

1

2

（∠ABD+∠ACD）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，进而可得答案．

解答：解：（1）连接AD并延长至点F，
∵由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴相加可得：∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又∵∠A=50°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°，
故答案为：40；

②如图3，
由（1）的结论易得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，
∵∠BAC=50°，∠CDB=140°，
∴∠ABD+∠ACD=140°-50°=90°；
∴∠BGC=

1

2

（∠ABD+∠ACD）+∠A=

1

2

×90°+50°=95°；

③如图4，∠BG₁C═

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=160°-x°
∴

1

10

（160-x）+x=70，
解得：x=60
∴∠A为60°．

点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．