Question

11．在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点，且∠BAP=25°，∠DAQ=20°，求∠AQP的度数．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，根据旋转的定义，把△ADQ绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，根据旋转的性质得AG=AQ，BG=DQ，∠GAQ=90°，∠ABG=∠ABC=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明△PAG≌△PAQ，得出∠AGP=∠AQP，由三角形内角和定理求出∠AGP即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，
∵∠BAP=25°，∠DAQ=20°，
∴∠PAQ=90°-25°-20°=45°，
∴把△ADQ绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，如图所示，
∴AG=AQ，BG=DQ，∠GAQ=90°，∠ABG=∠ABC=90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAG=∠GAQ-∠PAQ=45°，
∴∠PAG=∠PAQ，
在△PAG和△PAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}&{\;}\\{∠PAG=∠PAQ}&{\;}\\{AG=AQ}&{\;}\end{array}\right.$
∴△PAG≌△PAQ（SAS），
∴∠AGP=∠AQP，
∵∠APB=90°-25°=65°，
∴∠AGP=180°-45°-65°=70°，
∴∠AQP=70°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．