Question

已知：二次方程m²x²-m（2m-3）x+（m-1）（m-2）=0有两个不相等的实数根，且这两个根分别等于某个直角三角形两个锐角的正弦值．则m=

 

．

Answer 1

分析：根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．再解出一元二次方程的两个根，再根据方程m²x²-m（2m-3）x+（m-1）（m-2）=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的正弦，可以得到(

m-1

m

)2+(

m-2

m

)2=1（m≠0），进而解出m的值即可得到答案．

解答：解：∵a=m²，b=-m（2m-3），c=（m-1）（m-2），方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=[-m（2m-3）]²-4m²（m-1）（m-2）=m²＞0，
又∵二次项系数不为0，
∴m≠0．
∵m²x²-m（2m-3）x+（m-1）（m-2）=0，
∴x₁=

m-1

m

，x₂=

m-2

m

，
∵方程m²x²-m（2m-3）x+（m-1）（m-2）=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的正弦，
∴(

m-1

m

)2+(

m-2

m

)2=1（m≠0），
∴

m2-2m+1

m2

+

m2-4m+4

m2

=1，
∴m²-6m+5=0
∴m₁=1（不合题意，舍去），m₂=5．
故答案为：5．

点评：本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程的解法、互余两角的三角函数关系．掌握基础知识的综合应用．