Question

【题目】阅读材料：基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中我们把叫做正数a、b的算术平均数，叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具．

例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？

解∵x＞0，＞0

∴≥，即是x+≥2

∴x+≥2，

当且仅当x＝时，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．

请根据阅读材料解答下列问题：

（1）若x＞0，函数y＝2x+，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，

（2）当x＞0时，式子x2+1+≥2成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当x＝时，最小值为2；（2）式子不成立，理由见解析.

【解析】

（1）仿照材料中的例子求解即可；

（2）仿照材料中的例子求出x=0，与x＞0矛盾，故不成立.

解：（1）∵x＞0，

∴2x＞0，

∴2x+≥2＝2，

当且仅当2x＝，即x＝时，2x+有最小值，最小值为2；

（2）式子不成立．

理由：∵x＞0，∴x2+1＞0，＞0，

∴x2+1+≥2＝2，

当且仅当x2+1＝，即x＝0时，x2+1+有最小值，且最小值为2，

∵x＞0，

∴不等式不能取等号，

即不等式x2+1+≥2不成立．