Question

（2010•天桥区二模）已知：如图，等边三角形AOB的顶点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在x轴上．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的函数表示式；
（3）在y轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合条件的点P的坐标都写出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出OB的长，然后根据等边三角形的特点用OB的长表示出△OAB的面积，根据反比例函数的解析式知，△OAB的面积为，联立其面积表达式即可求得OB的长，从而确定点B的坐标．
（2）已知等边三角形的边长，易求得A点的坐标，然后用待定系数法求解即可．
（3）首先设出P点的坐标，然后分别表示出OP²、OA²、AP²，分三种情况讨论：
①OP=OA，②OP=AP，③OA=AP，根据三种情况下所能列出的不同等量关系式，可求得符合题意的点P坐标．
解答：解：（1）根据题意得，△OAB的面积为；（1分）
设OB=a，S_△OAB==，（2分）
∴OB=2，∴B（2，0）．（3分）

（2）易知A（1，），（4分）
把A（1，），B（2，0），代入y=kx+b得，（5分）
解得，k=-，b=2；
∴y=-x+2．（6分）

（3）符合条件的点P有：
（0，2）（0，2）（0，-2）（0，）．（9分）
（1-2个点（1分），3个点（2分），4个3分）
理由：设点P（0，y），已知A（1，），O（0，0）；
则AP²=1+（y-）²，OP²=y²，OA²=4；
①当OP=AP时，OP²=AP²，即：
y²=1+（y-）²，解得y=，
∴P（0，）；
②当AP=OA时，AP²=OA²，即：
1+（y-）²=4，整理得：y²-2y=0，
解得y=0（舍去），y=2，
∴P（0，2）；
③当OP=OA时，OP²=OA²，即：
y²=4，解得y=±2，
∴P（0，2）或（0，-2）；
综上可知：符合条件的P点有四个，且坐标为：P（0，2）（0，2）（0，-2）（0，）．
点评：此题考查的知识点有：等边三角形的性质、用待定系数法确定函数解析式的方法以及等腰三角形的构成情况等知识，要注意（3）题要根据等腰三角形不同的腰和底分类讨论，以免漏解．