Question

【题目】已知：△内接于⊙O，过点作直线EF，AB为非直径的弦，且。

（1）求证：是⊙O的切线

（2）若，联结并延长交于点，求由弧、线段　和所围成的图形的面积

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接BO并延长交⊙O于H，连接HC，首先根据圆周角定理得到∠H=∠A，由HB是直径得到∠HCB=90°，即∠H+∠CBH=90°，然后利用已知条件得到∠CBF+∠CBH=90°，即HB⊥EF，由此即可证明题目结论；

（2）在Rt△HCB中由BC=2，∠H=∠A=30°得到HB=4，OB=2，又∠BOM=2∠A=60°，根据三角函数可以求出MB，而，由此即可求出由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．

（1）证明：连接BO并延长交⊙O于H，连接HC，

则∠H=∠A，∵HB是直径，∴∠HCB=90°

∴∠H+∠CBH=90°．

又∵∠A=∠CBF

∴∠CBF+∠CBH=90°

∴HB⊥EF．

又∵OB是半径，

∴EF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°，

∴HB=4，OB=2．

∵∠BOM=2∠A=60°，

∴BM＝OB×tan60°＝,

，

∴由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积为.