Question

已知：二次函数y=x²-（m-n）x-mn+m-2的图象与x轴有两个不同的交点A（m，0），B（n，0），顶点为P．
（1）求m，n的值；
（2）直线y=kx+b（k＜0）经过点A与y轴交于点C，若△APB与△ABC相似，求k和b的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由二次函数y=x²-（m-n）x-mn+m-2的图象与x轴有两个不同的交点A（m，0），B（n，0），即可得m，n是方程x²-（m-n）x-mn+m-2=0的解，根据根与系数的关系可得m+n=m-n，mn=-mn+m-2，则可求得m，n的值；
（2）首先根据（1）求得二次函数的解析式，求得A，B，P的坐标，然后由△APB与△ABC相似与直线y=kx+b（k＜0），可得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得k和b的值．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²-（m-n）x-mn+m-2的图象与x轴有两个不同的交点A（m，0），B（n，0），
∴m，n是方程x²-（m-n）x-mn+m-2=0的解，
∴m+n=m-n，mn=-mn+m-2，
∴m=2，n=0；

（2）由（1）得：y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴B（0，0），A（2，0），
顶点C（1，-1），
∴AP=BP=

2

，OA=2，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵△APB与△ABC相似，∠ABC=90°，
则AO=OC=2，
∵k＜0，
∴点C（0，2），
∴

k+b=2 2k+b=0

，
解得：k=-2，b=4．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．