Question

3．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=$\frac{1}{2}$BC=5，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现
①当α=0°时，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；②当α=180°时，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，$\frac{AE}{BD}$的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长（保留根号）及相应的旋转角α（精确到1°）的大小（参考数据：tan25°≈0.50，sin25°≈0.45，cos25°≈0.89）．

Answer 1

分析 （1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少；
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少即可；
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据$\frac{EC}{DC}$=$\frac{BC}{BD}$，判断出△ECA∽△DCB，即可求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少，进而判断出$\frac{AE}{BD}$的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．

解答 解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
②如图1，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$；

（2）如图2，
当0°≤α＜360°时，$\frac{AE}{BD}$的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{CE}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；

（3）①如图3，
∵AC=5$\sqrt{5}$，CD=5，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=10，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=5$\sqrt{5}$，

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
∵AC=5$\sqrt{5}$，CD=5，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=10，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴AE=AD-DE=10-$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$，
由（2），可得$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=3$\sqrt{5}$．
综上所述，BD的长为5$\sqrt{5}$或3$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了几何变换综合题，相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，考查了分析推理能力，数形结合思想的应用，要熟练掌握．