Question

8．如图，A（n，n+1），B（n+3，n-1）是反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与一次函数y₂=ax+b图象的两个交点．求：
（1）反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当y₁＞y₂时x的取值范围；
（3）P是反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上A、B之间的一点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△PAC和△PBD的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意，得   n（n+1）=k，（n+3）（n-1）=k，可解得n=3，推出A（3，4），B（6，2），把A（3，4）代入y=$\frac{k}{x}$得到k=12，把A（3，4），B（6，2）分别代入y=ax+b中，转化为解方程组即可．
（2）利用函数图象反比例函数图象是一次函数的图象上方写出自变量的取值范围即可．
（3）设P（m，$\frac{12}{m}$），由题意：$\frac{1}{2}$×3×（4-$\frac{12}{m}$）=$\frac{1}{2}$×2×（6-m），解方程即可．

解答 解：（1）由题意，得   n（n+1）=k，（n+3）（n-1）=k，
可解得n=3，
∴A（3，4），B（6，2），
把A（3，4）代入y=$\frac{k}{x}$得到k=12，
把A（3，4），B（6，2）分别代入y=ax+b中，得到$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=4}\\{6a+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$
∴y₂=-$\frac{2}{3}$x+6，y₁=$\frac{12}{x}$．

（2）A（3，4），B（6，2）
根据图象得，当y₁＞y₂时x的取值范围是0＜x＜3或x＞6．

（3）设P（m，$\frac{12}{m}$），
由题意：$\frac{1}{2}$×3×（4-$\frac{12}{m}$）=$\frac{1}{2}$×2×（6-m），
m=3$\sqrt{2}$或-3$\sqrt{2}$（舍弃）
点P的坐标（3$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，待定系数法、三角形的面积，不等式等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．