Question

如图，已知点B（-2，0）C（-4，0），过点B，C的⊙M与直线x=-1相切于点A（A在第二象限），点A关于x轴的对称点是A₁，直线AA₁与x轴相交点P
（1）求证：点A₁在直线MB上；
（2）求以M为顶点且过A₁的抛物线的解析式；
（3）设过点A₁且平行于x轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为D，当⊙D与⊙M相切时，求⊙D的半径和切点坐标．

Answer 1

（1）证明：由题意知：P（-1，0），BP=1，CP=3，
∵PA与⊙M相切于A，PBC是⊙M的割线，
∴PA²=PB•PC即，
∵A在第二象限，点A关于x轴的对称点是A₁
∴，
可得，
设直线MB的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：，
∴直线MB的解析式为，
当x=-1时，
即点A₁在直线MB上．

（2）解：∵所求抛物线以为顶点，
∴抛物线的解析式可设为，
将点A₁坐标代入，可得，
∴抛物线的解析式为，
答：以M为顶点且过A₁的抛物线的解析式为．

（3）解：过点A₁且平行于x轴的直线为，
由和，
解得，
∴，
以点D为圆心且与⊙M相切的圆有两种情况：外切或内切
当⊙D与⊙M外切时，DM=4，
∴⊙D的半径为2，点C（-4，0）就是切点，
当⊙D与⊙M内切时，⊙D的半径为6，点⊙E（-2，2）是切点，
答：当⊙D与⊙M外切时，⊙D的半径为2和切点坐标是（-4，0）；当⊙D与⊙M内切时，⊙D的半径为6，切点坐标是（-2，2）．
分析：（1）由切割线定理求出PA的长，得到A和A′的坐标，进一步求出M的坐标，设直线MB的解析式是y=kx+b，代入即可求出解析式，把A₁的坐标代入即可判断；
（2）抛物线的解析式设为，将点A₁坐标代入，可得，即可得到答案；
（3）过点A₁且平行于x轴的直线为，解由和组成的方程组，求出方程组的解得到D的坐标，以点D为圆心且与⊙M相切的圆有两种情况：外切或内切，
当⊙D与⊙M外切时，DM=4，求出⊙D的半径为2，点C（-4，0）就是切点，当⊙D与⊙M内切时，求出⊙D的半径为6，点⊙是切点，即可得出答案．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，圆与圆的相切的性质，切割线定理，解二元一次方程组，关于X轴对称的点的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，难度适中．