分析 (1)①作AD⊥BC于D,交EF于G,根据相似三角形的判定定理得到△AEF∽△ABC,根据相似三角形的性质得到成比例线段,根据三角形的面积公式计算即可;
②T3的求解过程见①中;
(2)设$\frac{AE}{AB}$=x,根据题意列出二次函数的解析式,根据二次函数的性质求出T的最大值判断即可.
解答 解:(1)①作AD⊥BC于D,交EF于G,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$,
当$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$时,EF=$\frac{1}{2}$BC,AG=$\frac{1}{2}$AD,则DG=$\frac{1}{2}$AD,
T1=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{1}{4}$S,
当$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$时,EF=$\frac{1}{3}$BC,AG=$\frac{1}{3}$AD,则DG=$\frac{2}{3}$AD,
T2=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{2}{9}$S,
当$\frac{AE}{AB}$=$\frac{3}{4}$时,EF=$\frac{3}{4}$BC,AG=$\frac{3}{4}$AD,则DG=$\frac{1}{4}$AD,
T3=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{3}{16}$S;
②T3的求解过程见①;
(2)T1,T2,T3中的最大值是所有满足条件的△EFP(P与B或C不一定重合)的面积的最大值,理由如下:
设$\frac{AE}{AB}$=x时,EF=xBC,AG=xAD,则DG=AD-xAD,
T=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{1}{2}$×xBC×(AD-xAD)=(-x2+x)S,
当x=$\frac{1}{2}$时,T有最大值$\frac{1}{4}$S,
所以T1,T2,T3中的最大值是所有满足条件的△EFP(P与B或C不一定重合)的面积的最大值.
点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及二次函数的性质的应用是解题的关键.
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A. | 等边三角形和正六边形 | B. | 正方形和正八边形 | ||
C. | 正五边形和正十边形 | D. | 正六边形和正十二边形 |
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