Question

6．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m²的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m²），种草所需费用y₁（元）与x（m²）的函数关系式为${y}_{1}=\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x（0≤x＜600）}\\{{k}_{2}x+b（600≤x≤1000）}\end{array}\right.$，其图象如图所示：栽花所需费用y₂（元）与x（m²）的函数关系式为y₂=-0.01x²-20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k₁、k₂和b的值；
（2）设这块1000m²空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m²，栽花部分的面积不少于100m²，请求出绿化总费用W的最小值．

Answer 1

分析 （1）将x=600、y=18000代入y₁=k₁x可得k₁；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y₁=k₂x+b可得k₂、b．
（2）分0≤x＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；
（3）根据种草部分的面积不少于700m²，栽花部分的面积不少于100m²求得x的范围，依据二次函数的性质可得．

解答 解：（1）将x=600、y=18000代入y₁=k₁x，得：18000=600k₁，解得：k₁=30；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{600{k}_{2}+b=18000}\\{1000{k}_{2}+b=26000}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=20}\\{b=6000}\end{array}\right.$；

（2）当0≤x＜600时，
W=30x+（-0.01x²-20x+30000）=-0.01x²+10x+30000，
∵-0.01＜0，W=-0.01（x-500）²+32500，
∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W=20x+6000+（-0.01x²-20x+30000）=-0.01x²+36000，
∵-0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x=600时，W取最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元；

（3）由题意得：1000-x≥100，解得：x≤900，
由x≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x=900时，W取得最小值27900元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．