Question

16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，下列结论：①CE=CF=$\sqrt{2}$；②∠BAE=15°；③BE+DF=EF；④S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）

Answer 1

分析 根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∵EF=2，
∴CE=CF=$\sqrt{2}$，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴∠BAE=15°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=$\sqrt{2}$，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a²+（a-$\sqrt{2}$）²=4，
解得a=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
则a²=2+$\sqrt{3}$，
∴S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．