Question

19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过B点的直线与抛物线交于P，与y轴交于E，若BE=PE，求BP的长；
（3）如图2是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出点B和点C的坐标，然后设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，根据题意列出a，b和c的三元一次方程组，求出a，b和c的值即可；
（2）如图1，过点P作PF⊥y轴于点F，构建全等三角形△PFE≌△BOE（AAS），结合全等三角形的对应边相等和二次函数图象上点的坐标特征来求点P的坐标，则易得BP的长度；
（3）①当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁，过点P₁作y轴的垂线，垂足是M，先求出MC=MP₁，设P₁（m，-m²+3m+4），则m=-m²+3m+4-4，求出m的值即可；②当点A为直角顶点时，过A作AP₂⊥AC，交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP₂交y轴于点F．则P₂N∥x轴，求出AO=OF，P₂N=NF，进而得到m的一元二次方程，求出m的值，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4；　　

（2）如图1，过点P作PF⊥y轴于点F，
∵在△PFE与△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠BOE=90°}\\{∠PEF=∠BEO}\\{PE=BE}\end{array}\right.$，
∴△PFE≌△BOE（AAS），
∴PF=OB．
∵B（-1，0），
∴点P的横坐标是1，
把x=1代入y=-x²+3x+4，得
y=-1²+3×1+4=6，
故P（1，6），
∴BP=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-6）^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

（3）存在．　
第一种情况，如图2，当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁．过点P₁作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
设P（m，-m²+3m+4），则m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）．　　　　　　
第二种情况，如图3，当点A为直角顶点时，过A作AP₂，AC交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P₂N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
设P₂（n，-n²+3n+4），则n=（-n²+3n+4）+4
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
则P₂的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的解法的知识，解答（2）问时，需要作出辅助线，构建全等三角形，解答（3）问需要进行分类讨论，此题有一定的难度．