Question

6．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足 （a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求△ABC的面积．
（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，且∠ABD=30°，∠E=45°，问BD与AC有何位置关系？

Answer 1

分析 （1）先根据非负数的性质求出a，b的值，进而得出A，B两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分点P在y轴的正半轴上与负半轴上两种情况进行讨论；
（3）先根据直角三角形的性质求出∠ODB的度数，再由DE平分∠ODB得出∠BDE的度数，根据三角形内角和定理求出∠DFB的度数，同理可得出∠EAB的度数，根据AE平分∠CAB可得出∠CAB的度数，进而得出∠C的度数，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，
∴a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，
∴A（-2，0），C（2，2），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×4×2=4；

（2）当点P在y轴正半轴上时，如图①设P（0，t），
过点P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴$\frac{4（t-2+t）}{2}$-t-（t-2）=4，解得t=3，
∴P（0，3）；
当点P在y轴负半轴上时，如图②设P（0，t），
过点P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴$\frac{4（-t+2-t）}{2}$+t-（2-t）=4，解得t=-1，
∴P（0，-1）．
综上所述，P（0，-1）或（0，3）．

（3）设AB与DE交于点F，
∵∠ABD=30°，OB⊥OD，
∴∠ODB=60°，∠CBD=90°+30°=120°，
∵DE平分∠ODB，
∴∠BDE=30°，
∴∠BFD=180°-∠ABD-∠BDE=180°-30°-30°=120°，
∴∠AFE=∠BFD=120°．
∵∠E=45°，
∴∠EAB=180°-120°-45°=15°．
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠EAB=30°，
∴∠C=90°-30°=60°，
∴∠C+∠CBD=60°+120°=180°，
∴AC∥BD．

点评 本题考查的是坐标与图形性质，熟知三角形的面积公式及非负数的性质是解答此题的关键．