Question

11．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为E，点F，G，H，I分别是四边形各边中点．求证：F，G，H，I四个点在同一个圆上．

Answer 1

分析 连接FG、GH、HI、IF，由已知条件得出GH是△BCD的中位线，FI是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出GH∥BD，GH=$\frac{1}{2}$BD，FI∥BD，FI=$\frac{1}{2}$BD，FG∥AC，得出GH∥FI，GH=FT，证明四边形FGHI是平行四边形，由AC⊥BD，证出四边形FGHI是矩形，得出∠FIH=90°，证出∠FGH+∠FIH=180°，即可得出结论．

解答 证明：连接FG、GH、HI、IF，如图所示：
∵点F，G，H，I分别是四边形ABCD各边中点，
∴GH是△BCD的中位线，FI是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线，
∴GH∥BD，GH=$\frac{1}{2}$BD，FI∥BD，FI=$\frac{1}{2}$BD，FG∥AC，
∴GH∥FI，GH=FT，
∴四边形FGHI是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥GH，
∴FG⊥GH，
∴∠FGH=90°，
∴四边形FGHI是矩形，
∴∠FIH=90°，
∴∠FGH+∠FIH=180°，
∴F，G，H，I四个点在同一个圆上．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定方法、矩形的判定方法、四点共圆等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形是矩形是解决问题的关键；本题综合性强，难度适中．