Question

（2011•临川区模拟）如图，点B在y轴上，BA∥x轴，点A的坐标为（5.5，4），⊙A的半径为2．现有点P从点B出发沿射线BA运动．
（1）当点P在⊙A上时，请直接写出它的坐标；
（2）设点P的横坐标为x，连接OP，试探究射线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆的半径和点A的坐标直接写出点P的坐标即可；
（2）过点O作圆A的切线OM，切点为M，连接AM，则AM⊥OM，利用相似三角形的性质求得圆心与直线的距离，然后根据圆心到直线的距离判断点与直线的关系即可．

解答：解：（1）点P的坐标为（3.5，4）或（7.5，4）；

（2）过点O作圆A的切线OM，切点为M，连接AM，则AM⊥OM，
由题意可知：OM与BA的交点为P，BP=x，
当点P在点A的左侧时，x＜5.5
点A的坐标为（5.5，4），
AP=5.5-x，OB=4，
圆A的半径为2，
∴AM=2，BA∥x轴，
∴∠OBP=90°，
∴∠AMP=∠OBP
∠APM=∠OPB，
∴△OBP∽△AMP，

OP

AP

=

OB

AM

∴

OP

5.5-x

=

2

4

得OP=11-2x，Rt△OBP中，（11-2x）²=4²+x²，
解得：x=3或x=

35

3

（舍去）
当点P在点A的右侧时，x＞5.5，
同理可解得x=3（舍去）或x=

35

3

，
∴当x=3或

35

3

时，直线OP与圆A相切；
当0＜x＜3或x＞

35

3

时相离；
当3＜x＜

35

3

直线与圆相交．

点评：本题主要考查了切线的判定，通过作辅助线转化为解直角三角形是解题的关键．