Question

已知如图，AB为半圆⊙O的直径，C为半圆上的一点．
（1）请你只用直尺和圆规，分别以AC、BC为直径，向△ABC外侧作半圆．（不必写出作法，只需保留作图痕迹）
（2）若AC=3，BC=4，求所作的两个半圆中不与⊙O重叠的部分的面积和．

Answer 1

分析：（1）作BC的中垂线交于BC于点E，以点E为圆心，BE为半径作半圆，作AC的中垂线交于AC于点F，以点F为圆心，AF为半径作半圆；
（2）由勾股定理知，以AB为直径的半圆的面积等于以BC为直径的半圆的面积与以AC为直径的半圆与以AC为直径的半圆的面积的和，建立方程，即可求得两个半圆中不与⊙O重叠的部分的面积和．

解答：解：（1）如图：


（2）设以BC为直径的半圆与已知半圆不重合的部分面积为S₁，重合部分面积为S₂，
以AC为直径的半圆与已知半圆不重合的部分面积为S₃，重合部分面积为S₄，
则∵AB为直径，∴∠C=90°，又∵AC=3，BC=4，∴AB=5
∵S₁+S₂=

1

2

π(

BC

2

)2=2π，
S₃+S₄=

1

2

π(

AC

2

)2=

9

8

π，
S₂+S₄+S_△ABC=

1

2

π(

AB

2

)2=

25

8

π，
∴S₁+S₂+S₃+S₄=S₂+S₄+S_△ABC，
∴S₁+S₃=S_△ABC=6．

点评：本题利用了中垂线的作法，和勾股定理，半圆的面积公式求解．