Question

20．如图，一次函数y=kx+b反比例函数y=$\frac{a}{x}$象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求函数y=kx+b和y=$\frac{a}{x}$的表达式；
（2）已知点C在x轴上，且△ABC的面积是8，求此时点C的坐标；
（3）反比例函数y=$\frac{a}{x}$（1≤x≤6）的图象记为曲线C₁，将C₁向左平移2个单位长度，得曲线C₂，则C₁平移至C₂处所扫过的面积是20．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，从而得出反比例函数解析式；由勾股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（m，0），令直线AB与x轴的交点为D，根据三角形的面积公式结合△ABC的面积是8，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出m值，从而得出点C的坐标；
（3）设点E的横坐标为1，点F的横坐标为6，点M、N分别对应点E、F，根据反比例函数解析式以及平移的性质找出点E、F、M、N的坐标，根据EM∥FN，且EM=FN，可得出四边形EMNF为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求出平行四边形EMNF的面积S，根据平移的性质即可得出C₁平移至C₂处所扫过的面积正好为S．

解答 解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象上，
∴a=4×3=12，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$；
∵OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，OA=OB，点B在y轴负半轴上，
∴点B（0，-5）．
把点A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{-5=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=2x-5．
（2）设点C的坐标为（m，0），令直线AB与x轴的交点为D，如图1所示．
令y=2x-5中y=0，则x=$\frac{5}{2}$，
∴D（$\frac{5}{2}$，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CD•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$|m-$\frac{5}{2}$|×[3-（-5）]=8，
解得：m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{9}{2}$．
故当△ABC的面积是8时，点C的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）或（$\frac{9}{2}$，0）．
（3）设点E的横坐标为1，点F的横坐标为6，点M、N分别对应点E、F，如图2所示．
令y=$\frac{12}{x}$中x=1，则y=12，
∴E（1，12），M（-1，12）；
令y=$\frac{12}{x}$中x=6，则y=2，
∴F（6，2），N（4，2）．
∵EM∥FN，且EM=FN，
∴四边形EMNF为平行四边形，
∴S=EM•（y_E-y_F）=2×（12-2）=20．
C₁平移至C₂处所扫过的面积正好为平行四边形EMNF的面积．
故答案为：20．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的面积，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于m的含绝对值符号的一元一次方程；（3）求出平行四边形EMNF的面积．本题属于中档题，难度不小，解决（3）时，巧妙的借助平行四边的面积公式求出C₁平移至C₂处所扫过的面积，此处要注意数形结合的重要性．