Question

22、如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α

Answer 1

分析：此题的关键是过点C作AB的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°，∠B+∠C+∠D=360°，即可证明．

解答：证法1：∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图1）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）
又∵CF∥ED，
∴∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°（周角定义）
∴β=2α（等量代换）
证法2：∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图2）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又∵CF∥ED，
∴∠2+∠D=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°，
∴β=2α（等量代换）

点评：此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键，也是常见作法，需掌握．