在平面直角坐标系中,A、B为反比例函数的图象上两点,A点的横坐标与B点的纵坐标均为1,将的图象绕原点O顺时针旋转90°,A点的对应点为,B点的对应点为.
(1)求旋转后的图象解析式;
(2)求、点的坐标;
(3)连结.动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设运动的时间为秒,试探究:是否存在使为等腰直角三角形的值,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
解:(1)旋转后的图象解析式为. ……………………… 1分
(2)由旋转可得(4,-1)、(1,-4). ………………………… 3分
(3)依题意,可知.若为直角三角形,则同时也是等腰三角形,因此,只需求使为直角三角形的值.
分两种情况讨论:
①当是直角,时,如图1,
∵AB′=8,B′A′==,AM=B′N=MN=t,
∴B′M=8-t,
∵,
∴. ………… 4分
解得 (舍去负值),
∴. ……………… 5分
②当是直角,时,
如图2,
∵AB′=8,B′A′==,AM=B′N=t,
∴B′M=MN=8-t,
∵,
∴,
解得 .
∵,,
∴此时t值不存在. …………… 6分
(此类情况不计算,通过画图说明t值不存在也可以)
综上所述,当时,为等腰直角三角形. ……………… 7分
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