Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）试求：

PG

AE

的值（结果保留根号）．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：证明题

分析：（1）通过全等三角形的判定定理ASA证得：△OAE≌△OBG；
（2）四边形BFGE是菱形．欲证明四边形BFGE是菱形，只需证得EG=EB=FB=FG，即四条边都相等的四边形是菱形；
（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b．由该菱形的性质CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a-b，OC-CG=a-b，得CG=b）；然后在Rt△GOE中，由勾股定理可得a=

2+ 2

2

b，通过相似三角形△CGP∽△AGB的对应边成比例得到：

PG

GB

=

CG

AG

=

2

-1；最后由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，故

PG

AE

=

PG

GB

=

2

-1．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．            
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=90°，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．
∴在△OAE与△OBG中，

∠OAE=∠OBG OA=OB ∠AOE=∠BOG

，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；

（2）四边形BFGE是菱形，理由如下：
∵在△AHG与△AHB中，

∠GAH=∠BAH AH=AH ∠AHG=∠AHB=90°

∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB．
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°
∴∠BEF=∠BFE                    
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BFGE是菱形；

（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b．
∵四边形BFGE是菱形，
∴GF∥OB，
∴∠CGF=∠COB=90°，
∴∠GFC=∠GCF=45°，
∴CG=GF=b，
（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a-b，OC-CG=a-b，得CG=b）
∴OG=OE=a-b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a-b）²=b²，求得 a=

2+ 2

2

b
∴AC=2a=（2+

2

）b，AG=AC-CG=（1+

2

）b
∵PC∥AB，
∴△CGP∽△AGB，
∴

PG

GB

=

CG

AG

=

b

(1+ 2 )b

=

2

-1，
由（1）△OAE≌△OBG得 AE=GB，
∴

PG

AE

=

PG

GB

=

2

-1，即

PG

AE

=

2

-1．

点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质等四边形的综合题．该题难度较大，需要学生对有关于四边形的性质的知识有一系统的掌握．