Question

12．如图，在△ABC中，点B，C是x轴上的两个定点，∠ACB=90°，AC=BC，点A（l，3），点P是x轴上的一个动点，点E是AB的中点，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF

（1）如图1，当点P与坐标原点重合时：①求证△PCE≌△FBE；②求点F的坐标；
（2）如图2，当点P在线段CB上时，求证S_△CPE=S_△AEF
（3）如图3，当点P在线段CB的延长线时，若S_△AEF=4S_△PBE则此刻点F的坐标为（4，4）．

Answer 1

分析 （1）①只要证明∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，即可解决问题．
②由△PCE≌△FBE推出BF=PC=1，只要证明BF⊥PB即可．
（2）如图2中，作PM⊥CE于M，FN⊥EB于N，根据全等三角形的性质可知PM=FN，由S_△CPE=$\frac{1}{2}$CE•PM，S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•FN，即可证明．
（3）由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，由S_△CPE=S_△AEF，S_△AEF=4S_△PBE，推出S_△CPE=4S_△PBE，推出PC=4PB，推出BC=3PB，PB=1，PC=4，推出BF=PC=4，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

①∵A（1，3），B（4，0），
∴AC=BC=3，△ACB是等腰直角三角形，
∵AE=EB，
∴CE=AE=EB，CE⊥AB，∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠CEB=∠OEF=90°，∠ECO=135°，
∴∠OEC=∠FEB，∵OE=EF，EC=EB，
∴△EOC≌△EFB，即△PCE≌△FBE．．
②∵△PCE≌△FBE．
∴OC=BF=1，∠EBF=∠OCE=135°，
∴∠OBF=90°，
∴BF⊥OB，
∴F（4，-1）．

（2）证明：如图2中，作PM⊥CE于M，FN⊥EB于N．

由（1）可知∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，
∴△ECP≌△EBF，
∵PM⊥CE于M，FN⊥EB于N，
∴PM=FN（全等三角形对应边上的高相等），
∵S_△CPE=$\frac{1}{2}$CE•PM，S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•FN，
∵CE=AE，PM=NF，
∴S_△CPE=S_△AEF．

（3）解：如图3中，

由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，
∵S_△CPE=S_△AEF，S_△AEF=4S_△PBE，
∴S_△CPE=4S_△PBE，
∴PC=4PB，
∴BC=3PB，PB=1，PC=4，
∴BF=PC=4，
∴点F坐标为（4，4）．
故答案为（4，4）．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用全等三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．