Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），B（3，2），点C在线段OA上，BC=BA，点Q是线段BC上一个动点，点P的坐标是（0，3），直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），且与x轴交于点D．
（1）求点C的坐标及b的值；
（2）求k的取值范围；
（3）当k为取值范围内的最大整数时，过点B作BE∥x轴，交PQ于点E，若抛物线y=ax²-5ax（a≠0）的顶点在四边形ABED的内部，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点P的坐标求出b的值，再根据对称性结合点A、B的坐标求出点C的坐标；
（2）然后利用待定系数法求出BC的解析式，联立直线BC与PQ的解析式，根据x的值在1到3之间列出不等式求解即可；
（3）根据（2）的结论求出k值，再根据抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$求出对称轴解析式，然后求出顶点坐标，再求出直线PQ与对称轴的交点坐标，然后根据顶点在四边形ABED的内部列式求解即可．

解答 解：（1）作BM⊥AC于M，
∵A（5，0），B（3，2），
∴OA=5，BM=2，OM=3，
∴AM=5-3=2，
∵BC=BA，
∴CM=AM=2，
∴OC=1，
∴C（1，0），
∵直线y=kx+b（k≠0）经过点P（0，3），
∴b=3．
（2）∵B（3，2），C（1，0），
∴BC的解析式是y=x-1（1≤x≤3），
∵直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），P（0，3），
∴直线PQ的解析式为y=kx+3（k≠0），
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=kx+3}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{4}{1-k}$，
∴1≤$\frac{4}{1-k}$≤3，
解得-3≤k≤-$\frac{1}{3}$；
（3）∵-3≤k≤-$\frac{1}{3}$，且k为最大整数，
∴k=-1，
则直线PQ的解析式为y=-x+3，
又∵x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-5a}{2×a}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-（-5a）^{2}}{4a}$=-$\frac{25}{4}$a，
∴抛物线y=ax²-5ax的顶点坐标是（$\frac{5}{2}$，-$\frac{25}{4}$a），
对称轴为x=$\frac{5}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即直线PQ与对称轴为x=$\frac{5}{2}$的交点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$＜-$\frac{25}{4}$a＜2，
解得-$\frac{8}{25}$＜a＜-$\frac{2}{25}$．

点评 本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求直线的解析式，两直线交点的求解方法，不等式组的求解，以及二次函数的性质，顶点坐标，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．