Question

17．已知：在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD交于点O，∠DOC=60度．
（1）当四边形ABCD是平行四边形时（如图1），证明AB+CD=AC；
（2）当四边形ABCD是梯形时（如图2），AB∥CD，线段AB、CD和线段AC之间的数量关系是AB+CD=AC；并给出证明．

Answer 1

分析 （1）当四边形ABCD为平行四边形时，由于AC=BD，所以平行四边形ABCD实际为矩形，若∠DOC=60°时，三角形ABO和三角形DOC均为等边三角形，所以会有AB+CD=AC；
（2）当四边形ABCD为等腰梯形时，三角形ABO和三角形CDO也是等边三角形，所以会有AB+CD=AC．

解答 解：（1）在?ABCD中，
∵AC=BD
∴?ABCD为矩形
又∵∠DOC=60°，
∴∠AOB=60°，
又OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD=OA=OC．
即AB+CD=AC；
（2）AB+CD=AC；
∵四边形ABCD是梯形，AC=BD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
过B作AC的平行线，交DC的延长线于点E．则四边形ACEB是平行四边形，
∴AC=BE=BD，
∴∠BDC=∠E，∠E=∠ACD
∴∠BDC=∠ACD
又∵∠DOC=60°，
∴△DOC都是正三角形，
同理：△AOB是等边三角形．
∴OA=OB=AB，OD=OC=DC
即AB+CD=AO+C0=AC．
故答案为：AB+CD=AC．

点评 此题考查了平行四边形、矩形、等腰梯形的基本性质，比较全面，难易适中．