Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴为直线x=﹣1，点E为线段AC的中点，点F为x轴上一动点．

（1）直接写出点B的坐标，并求出抛物线的函数关系式；
（2）当点F的横坐标为﹣3时，线段EF上存在点H，使△CDH的周长最小，请求出点H，使△CDH的周长最小，请求出点H的坐标；
（3）在y轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由A、B关于x=﹣1对称，得

B（﹣4，0），

∵抛物线y=ax2+bx﹣4过A（2，0）、B（﹣4，0），

∴ ，

解得： ，

∴y= x2+x﹣4

（2）

解：如图1，

当x=0时，y=﹣4，即C（0，﹣4），

y= x2+x﹣4= （x+1）2﹣

∴D（﹣1，﹣ ），

∵E为线段AC的中点，A（2，0），C（0，﹣4），

∴E（1，﹣2）．

∵点F横坐标为﹣3，

∴F（﹣3，0），

∴AF=5，CF= = =5，

∴AF=CF，

∵E为线段AC的中点，

∴EF垂直平分AC，

∴A、C关于直线EF轴对称，连接AD，与直线EF交点即为所求H，

∴EF⊥AC．

设直线EF关系式为y=k1x+b1，

∴ ，

解得： ，

∴直线EF：y=﹣ x﹣ ，

设直线AD关系式为y=k2x+b2，

∴ ，

解得： ，

∴y= x﹣3，

联立AD，EF，得 ，

∴ ，

∴H（ ，﹣ ）

（3）

解：若CD为对角线，不存在；

若CD为边，则PF∥CD且PF=CD，

∵C（0，﹣4），D（﹣1，﹣ ），点F为x轴上一动点，

如图2，PDCF是平行四边形，对角线的纵坐标为﹣ ，P点纵坐标﹣ ，

当y=﹣ 时， x2+x﹣4=﹣ ，解得x1=﹣1+2 （舍），x2=﹣1﹣2 ，

∴P1（﹣1﹣2 ，﹣ ）．

如图3，PFDC是平行四边形，对角线的交点坐标为﹣2，P点坐标为 ，

当y= 时， x2+x﹣4= ，解得x1=﹣1+ （舍），x2=﹣1﹣ ，

∴P2（﹣1﹣ ， ）．

综上所述：在y轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标（﹣1﹣2 ，﹣ ），（﹣1﹣ ， ）

【解析】（1）根据轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据配方法，可得D点坐标，根据勾股定理，可得CF的长，根据等腰三角形的性质，可得A，C关于EF对称，根据轴对称的性质，可得PA=PC，根据两点之间线段最短，可得P是AD与EF的交点，根据解方程组，可得答案；（3）根据平行四边形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．