Question

17．如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF=α，则∠AOB=90°-$\frac{1}{2}$α．

Answer 1

分析 连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得OP=PM=ON，∠OPE=∠OME，∠OPF=∠ONF，∠POE=∠MOE，∠POF=∠NOF，然后求出∠OME+∠ONF=∠EPF=α，再根据三角形的内角和等于180°求出∠MON，然后求解即可．

解答 解：如图，连接OP、OM、ON，
∵点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴OP=PM=ON，∠OPE=∠OME，∠OPF=∠ONF，∠POE=∠MOE，∠POF=∠NOF，
∴∠OME+∠ONF=∠OPE+∠OPF=∠EPF=α，
在△OMN中，∠MON=180°-（∠OME+∠ONF）=180°-α，
∵∠MON=∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF=2（∠POE+∠POF）=2∠AOB，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α．
故答案为：90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．