Question

18．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量是100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的销售量将是原销售量的y倍，y与x的关系如下表：

x（十万元）	0	1	2	…
y	1	1.5	1.8	…

（1）已知y与x之间满足我们学习过的三种函数（即一次函数、反比例函数、二次函数）关系中的一种，请求出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；
（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果每年投入的广告费为10万元～20万元，公司获得的最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，利用表格数据，即可求出y与x之间的函数关系式； 
（2）根据利润看作是销售总额减去成本费和广告费，可得结论； 
（3）利用配方法，可求最值．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c． 
由关系表，得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+b+c=1.5}\\{4a+2b+c=1.8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{10}}\\{b=\frac{3}{5}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
故函数的解析式为y=-$\frac{1}{10}$x²+$\frac{3}{5}$x+1． 

（2）根据题意，得S=100y（3-2）-x=-10x²+50x+100；

（3）S=-10x²+50x+100=-10（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{325}{2}$，
∵1≤x≤2，
∴当x=2（十万元）时，S=160（十万元），
∴每年投入的广告费为10万元～20万元，公司获得的最大利润是1600万元．

点评 本题考查了二次函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．