Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，
（1）△ABC内是否存在一点P使各边的距离相等？如果存在，请作出这一点．并说明理由；
（2）求这个距离．

Answer 1

分析：（1）过点C作∠ACB的角平分线，再过点B作∠ABC的角平分线，二条角平分线交于一点，就是点P；
（2）过点P分别向△ABC的三边做垂线段PE、PF、PD，连接AP，由于PE⊥AB，PF⊥BC，那么易知∠PFB=∠PEB=∠ACB=90°，可知四边形PEBF是矩形，结合角平分线的性质有PE=PF，可证四边形PEBF是正方形，设PE=x，再用x的代数式表示CD，CF，从而可得关于x的方程，解即可．

解答：解：（1）过点C作∠ACB的角平分线，再过点B作∠ABC的角平分线，二条角平分线交于一点，此点就是点P；

（2）过点P分别向△ABC的三边做垂线段PE、PF、PD，连接AP，
∵CP平分∠ACB，PD⊥AC，PF⊥BC，
∴PD=PF，
又∵CP=CP，
∴Rt△CDP≌Rt△CFP，
∴CD=CF，
同理有AD=AE，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PFB=∠PEB=∠ABC=90°，
∴四边形PEBF是矩形，
又∵PE=PF，
∴四边形PEBF是正方形，
设PE=x，
∵AE=AD=7-x，
∴CF=CD=25-（7-x）=18+x，
又∵CF=24-x，
∴18+x=24-x，
解得x=3，
故距离是3．

点评：本题考查了角平分线的性质、矩形和正方形的判定和性质、直角三角形全等的判定和性质，解题的关键是知道AD=AE，CD=CF，并能证明四边形PEBF是正方形．