Question

4、现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．

Answer 1

分析：因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．

解答：解：因为n段之和为定值150（cm），故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1（cm），且任意3段都不能拼成三角形，
因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，
但1+1+2++34+55=143＜150，1+1+2++34+55+89=232＞150，
故n的最大值为10．
将长为150（cm）的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式：
1，1，2，3，5，8，13，2l，34，62；
1，1，2，3，5，8，13，21，35，6l；
1，1，2，3，5，8，13，21，36，60；
1，1，2，3，5，8，13，21，37，59；
1，l；2，3，5，8，13，22，35，60；
1，1，2，3，5，8，13，22，36，59；
1，l，2，3，5，8，14，22，36，58．

点评：本题考查了三角形三边关系．正确确定什么情况下n最大，是解决本题的关键；注意各个竖列之和为143，由于150-143=7，故多余的7cm要加到数列的末几项上，而且使得任何三个不构成三角形，