Question

6．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，I为△ABC的内心，AI的延长线交BC于E．若IE=1，则AI=1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作IM⊥BC于M，则IM∥AC，设AC=BC=a，由勾股定理求出AB=$\sqrt{2}$a，直角三角形内切圆半径=$\frac{2a-\sqrt{2}a}{2}$，由平行线得出比例式$\frac{IE}{AE}=\frac{IM}{AC}$，即可得出AI．

解答 解：作IM⊥BC于M，如图所示：
则IM∥AC，
设AC=BC=a，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴Rt△ABC的内切圆半径IM=$\frac{AC+BC-AB}{2}$=$\frac{2a-\sqrt{2}a}{2}$，
∵IM∥AC，
∴$\frac{IE}{AE}=\frac{IM}{AC}$，
即$\frac{1}{1+AI}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
解得：AI=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理、平行线的性质、直角三角形内切圆的半径等知识；本题综合性强，有一定难度．