Question

已知：△ABC是边长为1的等边三角形，D是射线BC上一动点（与点B、C不重合），以AD为一边向右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）当点D在线段BC上运动时（如图1），求证：①EC=DB；②EC∥AB；
（2）当点D在线段BC的延长线上运动时（如图2），②中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）当EC=2时，求△ABC与△ADE的面积比．

Answer 1

（1）证明：
①∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
∴△CAE≌△BAD．
∴EC=DB．
②由△CAE≌△BAD
∴∠ACE=∠B=60°．
∴∠ACE=∠BAC=60°．
∴EC∥AB．

（2）解：②中得到的结论是否仍然成立．
∵△CAE≌△BAD（SAS）．
∴∠ACE=∠B=60°．
∴∠ACE=∠BAC=60°．
∴EC∥AB．

（3）解：∵△CAE≌△BAD．
∴BD=CE=2．
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴当BD=2时，点D在线段BC的延长线上，
AB=BC=AC=BD，
∴△ABD是直角三角形．
在Rt△ABD中，AD=BD•sinB=2×=．
∵△ABC∽△ADE．
∴△ABC与△ADE的面积比为1：3．
分析：（1）根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等三角形的性质可以证明题目的结论；
（2）根据（1）可知D的位置对△CAE≌△BAD没有影响，所以结论仍然成立，证明方法完全相同；
（3）当BD=2时，AB=BC=AC=BD，△ABD是直角三角形．这样在Rt△ABD解直角三角形可以求出AD的长，然后利用相似三角形的性质可以解决问题．
点评：此题主要考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质和相似三角形的性质等知识．