Question

（1）解下列方程：①x+

2

x

=3根为

 

；②x+

6

x

=5根为

 

；③x+

12

x

=7根为

 

；
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为

 

，其根为

 

．
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x+

n2+n

x-3

=2n+4（n为正整数）的根．

Answer 1

考点：分式方程的解

专题：规律型

分析：（1）首先去分母，即可化成一元二次方程，解方程求得x的值，然后进行检验，即可求得方程的解；
（2）根据（1）中的三个方程的特点以及解的关系即可求解；
（3）根据（3）的结果，把所求的方程化成x-3+

n(n+1)

x-3

=2n+1的形式，把x-3当作一个整体即可求解．

解答：解：（1）①去分母，得：x²+2=3x，即x²-3x+2=0，（x-1）（x-2）=0，
则x-1=0，x-2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
经检验：x₁=1，x₂=2都是方程的解；
②去分母，得：x²+6=5x，即x²-5x+6=0，（x-2）（x-3）=0，
则x-2=0，x-3=0，
解得：x₁=2，x₂=3，
经检验：x₁=2，x₂=3是方程的解；
③去分母，得：x²+12=7x，即x²-7x+12=0，（x-3）（x-4）=0，
则x₁=3，x₂=4，
经检验x₁=3，x₂=4是方程的解；

（2）出第n个方程为x+

n(n+1)

x

=2n+1，解是x₁=n，x₂=n+1；

（3）x+

n2+n

x-3

=2n+4，
即x-3+

n(n+1)

x-3

=2n+1，
则x-3=n或x-3=n+1，
解得：x₁=n+3，x₂=n+4．

点评：本题考查了分式方程的解法，注意方程的式子的特点，以及对应的方程的解之间的关系是解决本题的关键．