Question

（2012•丰台区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点．
（1）求k的值；
（2）如果点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先求出A点坐标，再把A点坐标代入y=

k

x

即可得到k的值；
（2）BD⊥y轴，AC⊥y轴，如图，设P点坐标为（0，y），先根据对称得到B点坐标为（1，-1），再根据勾股定理得到AB²=2²+2²=8，PB²=PD²+BD²=（y+1）²+1²，PA²=PC²+AC²=（y-1）²+1²，然后分类讨论：当△APB是以AB为斜边的直角三角形，则PB²+PA²=AB²；当△APB是以PB为斜边的直角三角形，则AB²+PA²=PB²；当△APB是以PA为斜边的直角三角形，AB²+PB²=PA²，分别得到关于y的方程，解方程求出y的值即可得到P点坐标．

解答：解：（1）∵一次函数y=-x的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，
根据图象可得出A点横坐标为-1，代入一次函数解析式，
∴y=-（-1）=1，
∴A点坐标为：（-1，1），
∵反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-1，1），
∴k=-1×1=-1；

（2）作BD⊥y轴，AC⊥y轴，如图，设P点坐标为（0，y），
∵点A与B点关于原点对称，
∴B点坐标为（1，-1），
∴AB²=2²+2²=8，PB²=PD²+BD²=（y+1）²+1²，PA²=PC²+AC²=（y-1）²+1²，
分类：当△APB是以AB为斜边的直角三角形，则PB²+PA²=AB²，
∴PB²+PA²=AB²，即（y+1）²+1²+（y-1）²+1²=8，解得y=±

2

；
当△APB是以PB为斜边的直角三角形，
∴AB²+PA²=PB²，即（y+1）²+1²=（y-1）²+1²+8，解得y=2；
当△APB是以PA为斜边的直角三角形，
∴AB²+PB²=PA²，即（y-1）²+1²=（y+1）²+1²+8，解得y=-2；
∴P点坐标为（0，

2

）、（0，-

2

）、（0，2）、（0，-2）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．