Question

16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交AC于点E，交AB于点F．

（1）当点P为线段BC的中点时，求∠M的正切值；
（2）当点P在线段BC上运动时（不与B、C重合），连接AM、AN，求证：
①△AMN为等腰直角三角形；
②△AEF∽△BAM．

Answer 1

分析 （1）连接NB，如图1，先由△ACB为等腰直角三角形得到∠A=∠CBA=45°，则根据对称的性质得AB垂直PN，BN=BP，则∠NBA=∠PBA=45°，所以∠PBN=90°，接着计算出MC=CP=PB=NB=1，然后利用正切的定义求解；
 （2）①连接AP，如图2，利用对称的性质得AP=AM=AN，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠MAN=90°，于是可判断△AMN为等腰直角三角形；
②利用△AMN为等腰直角三角形得到∠5=∠6=45°，再证明∠AEF=∠BAM，加上∠B=∠EAF=45°，则根据相似三角形的判定可判断△AEF∽△BAM．

解答 （1）解：连接NB，如图1，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵点P关于直线AB的对称点为N，关于直线AC的对称点为M，
∴AB垂直PN，BN=BP，
∴∠NBA=∠PBA=45°，
∴∠PBN=90°，
∵点P为BC的中点，BC=2，
∴MC=CP=PB=NB=1，
∴tan∠M=$\frac{BN}{BM}$=$\frac{1}{3}$；
 （2）证明：①连接AP，如图2，
∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，
∴AP=AM=AN，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠CAB=∠2+∠3=45°，
∴∠MAN=90°
∴△AMN为等腰直角三角形；
②∵△AMN为等腰直角三角形，
∴∠5=∠6=45°，
∴∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1，
∵∠EAF=45°
∴∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1，
∴∠AEF=∠BAM，
又∵∠B=∠EAF=45°
∴△AEF∽△BAM．

点评 本题考查了相似形综合题：熟练掌握对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质；记住锐角三角函数的定义．