Question

14．矩形ABCD中，AB=10，BC=8，点P为AD边上的一点，沿直线BP将△ABP翻折至△EBP（点A落在点E处）．
（1）如图1，当点E落在CD边上，则△EBC的面积S_△BEC=24；
（2）如图2，PE、CD相交于点M，且MD=ME，求折痕BP的长；
（3）如图3，当点P为AD的中点时，连接DE，则图中与∠APB相等的角的个数为4．

Answer 1

分析 （1）由折叠得出BE=10，进而由勾股定理求出CE，最后用三角形的面积公式求解即可；
（2）先判断出△DPM≌△EQM，进而用勾股定理求出AP，即可得出结论；
（3）由折叠的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）由折叠知，BE=AB=10，
在Rt△BCE中，BC=8，根据勾股定理得，CE=6，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$CE•BC=24，
故答案为24，

（2）如图2，

当MD=ME时，设BE交DC与点Q，
在△DPM和△EQM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=QEM}\\{DM=ME}\\{∠PMD=QME}\end{array}\right.$，
∴△DPM≌△EQM
∴DP=EQ   DQ=EP，
设AP=x，则DP=8-x=EQ   DQ=EP=AP=x
∴CQ=10-x   BQ=2+x，
在Rt△CBQ中，由勾股定理得：64+（10-x）²=（x+2）²，
解得x=$\frac{20}{3}$，即AP=$\frac{20}{3}$，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=$\frac{10\sqrt{13}}{3}$，

（3）由折叠知，∠BPE=∠APB，AP=PE，
∵点P是AD中点，
∴AP=DP，
∴PD=PE，
∴∠PDE=∠PED，
∵2∠PDE+∠DPE=180°，2∠APB+∠DPE=180°，
∴∠PDE=∠APB，
∴∠PDE=∠PED=∠BPE=∠APB，
∵∠APB+∠ABP=90°，∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠APB=∠PBC
故答案为4．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，解（1）的关键是根据勾股定理求出CE，解（2）的关键是关键勾股定理求出AP，解（3）的关键是由等腰三角形的性质得出∠PDE=∠APB，是一道中等难度的中考常考题．