Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在线段BC上，连接AD，过点D作AD的垂线，过点B作AB的垂线，两条垂线相交于点E，若BD=2CD，且AC=3，过点B作BF⊥BC交AE于点F，连接DF，求DF的长．

Answer 1

分析 过D作DG∥AB交AC于G，过F作FM⊥AB于M，FN⊥BE于N，得到△CDG是等腰直角三角形，求出CD=1，BD=2，CG=CD=1，AG=BD=2，DG=$\sqrt{2}$，通过△ADG≌△DBE，得到AD=DE，BE=DG=$\sqrt{2}$，根据角平分线的性质得到FM=FN，推出BN=BM=FN=FM，根据平行线分线段成比例得到$\frac{FN}{AB}=\frac{FE}{AE}$，$\frac{FM}{BE}=\frac{AF}{AE}$，于是得到$\frac{FN}{AB}+\frac{FM}{BE}=\frac{FE}{AE}+\frac{AF}{AE}$=1，于是得到BF=$\frac{3}{2}$，由勾股定理即可得到结论．

解答 解：过D作DG∥AB交AC于G，过F作FM⊥AB于M，FN⊥BE于N，
∵∠C=90°，AC=BC，AC=3，
∴BC=3，△CDG是等腰直角三角形，
∵BD=2CD，
∴CD=1，BD=2，
∴CG=CD=1，AG=BD=2，
∴DG=$\sqrt{2}$，
∵AD⊥DE，
∴∠GDA+∠BDE=∠GDA+∠GAD=45°，
∴∠GAD=∠BDE，
∵∠CGD=∠ABC=45°，AB⊥BE，
∴∠AGD=∠BDE，
在△ADG与△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠BDE}\\{AG=BD}\\{∠AGD=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△DBE，
∴AD=DE，BE=DG=$\sqrt{2}$，
∵BF⊥BC，
∴BF∥AC，
∴∠ABF=∠CAB=45°，
∴∠FBE=45°，
∴∠ABF=∠EBF，
∴FM=FN，
∴四边形FNBM是正方形，
∴BN=BM=FN=FM，
∴FM∥BE，FN∥AB，
∴$\frac{FN}{AB}=\frac{FE}{AE}$，$\frac{FM}{BE}=\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{FN}{AB}+\frac{FM}{BE}=\frac{FE}{AE}+\frac{AF}{AE}$=1，
∴FN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴BF=$\frac{3}{2}$，
∴DF=$\sqrt{B{D}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，平行线分线段成比例，正确的作出辅助线是解题的关键．