Question

8．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，绕点C顺时针旋转△ABC，使点B落在AB边上，得△A₁B₁C（如图），联结AA₁
（1）说明AB∥A₁C的理由；
（2）△A₁AB₁与△CB₁A全等吗？为什么？
（3）绕点C顺时针旋转△ABC，使点B落在AC边上，得△A₂B₂C（如图），联结AA₂，求∠AB₂A₂的度数．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC、∠BAC=45°求得∠ABC=∠ACB=67.5°，根据△A₁B₁C≌△ABC知∠B₁A₁C=∠BAC=45°、∠A₁B₁C=∠ABC=67.5°、BC=B₁C，从而得∠BB₁C=∠ABC=67.5°，继而可求得∠AB₁A₁=∠B₁A₁C=45°，即可得证；
（2）由（1）知∠AB₁A₁=∠B₁AC=45°，且A₁B₁=AB=AC、AB₁=AB₁即可证得；
（3）由△ABC≌△A₂B₂C得∠A₂B₂C=∠B=67.5°，继而可得∠AB₂A₂的度数．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-45°）÷2=67.5°，
∵△A₁B₁C≌△ABC，
∴∠B₁A₁C=∠BAC=45°，∠A₁B₁C=∠ABC=67.5°，BC=B₁C，
∴∠BB₁C=∠ABC=67.5°，
∴∠AB₁A₁=180-∠BB₁C-∠A₁B₁C=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AB₁A₁=∠B₁A₁C，
∴AB∥A₁C；

（2）△A₁AB₁≌△CB₁A，
由（1）知，∠AB₁A₁=∠B₁AC=45°，
又∵AB=AC，AB=A₁B₁，
∴A₁B₁=AC，
在△A₁AB₁与△CB₁A中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{A{B}_{1}={B}_{1}A}\\{∠A{B}_{1}{A}_{1}=∠{B}_{1}AC}\\{{A}_{1}{B}_{1}=CA}\end{array}\right.$，
∴△A₁AB₁≌△CB₁A（SAS）；

（3）如图，

∵△ABC≌△A₂B₂C，
∴∠A₂B₂C=∠B=67.5°，
∴∠AB₂A₂=180°-∠A₂B₂C=112.5°．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质并加以灵活运用是解题的关键．