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已知一个二次函数的图象过点A(-1,10),B(1,4),C(2,7),点D和点B关于抛物线的对称轴对称,问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线?如果存在,求出符合条件的直线;如果不存在,请说明理由.
考点:待定系数法求二次函数解析式,根的判别式,二次函数的性质
专题:计算题
分析:存在,设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A,B,C代入求出a,b,c的值,确定出抛物线解析式,得出对称轴,由D与B关于对称轴对称求出D坐标,代入表示出m,进而求出过D的解析式,联立后消去y得到关于x的一元二次方程,令根的判别式等于0求出k的值,即可得出满足题意的解析式.
解答:解:存在,设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C坐标代入得:
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7

解得:
a=2
b=-3
c=5

∴抛物线解析式为y=2x2-3x+5,对称轴为直线x=
3
4

∵点D与B关于对称轴对称,
∴D(
1
2
,4),
设过点D的直线为y=kx+m,把D坐标代入得:
1
2
k+m=4,即m=4-
1
2
k,
∴过D的解析式为y=kx+4-
1
2
k,
联立y=2x2-3x+5得:2x2-3x+5=kx+4-
1
2
k,
整理得:2x2-(3+k)x+
1
2
k+1=0,
令△=0,得:(3+k)2-8(
1
2
k+1)=0,
解得:k=-1,
则符合题意的解析式为y=-x+
9
2
点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
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1
5
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1
8
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1
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