Question

【题目】(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理.

证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2，

∴4×ab＋(b－a)2＝c2.

∴______________

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.

(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）通过化简即可证得；（2）根据四个全等的直角三角形的面积＋阴影部分小正方形的面积＝大正方形的面积，代入数值，即可证明；（3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论．

解答：证明：（1）∵大正方形面积表示为S＝，又可表示为S＝4×，

∴4×=．

∴，

∴，

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

故答案为：；

（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4＋＝（a＋b）×（a＋b），

整理得，，

即 ；

（3）如图，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形，

∵△ACE是等腰直角三角形，

∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD，

∵∠ACB＋∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ECD，

∵∠B＝∠D＝90°，

∴△ABC≌△CDE（AAS），

∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，

S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2× ，

∴．