Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=4，将△ABC折叠，使点A落在点B上，折痕所在直线交△ABC的外角平分线CD于点E，则点E到BC的距离为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：连接GB，作EF⊥BC于F，EM⊥AC于M，就可以得出EM=EF，由条件就可以得出△GEM∽△CAB，△AGH∽△ABC，就有

EM

MG

=

AB

BC

，

AG

AB

=

AH

AC

，就可以把EM、AG表示出来，由EM于CM的关系就可以求出结论．

解答：解：连接GB，作EF⊥BC于F，EM⊥AC于M，
∴∠EMC=∠EMG=∠EFC=90°
∵CD平分∠ACF，
∴EM=EF．∠ACD=

1

2

∠ACF，
∵∠C=90°，
∴∠ACF=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠CEM=45°，
∴∠CEM=∠ECM，
∴EM=EC．
∵△AGH与△BGH关于GH对称，
∴AH=

1

2

AB，AG=GB．∠AHG=∠BHG=90°．
∴∠EMG=∠ACB=∠AHG．
∵∠EGM=∠AGH，
∴△GEM∽△BAC，
∴

EM

MG

=

AC

BC

，
∴EM=

AC

BC

•MG．
∴CM=

AC

BC

•MG=

AC

BC

（AC-AG-CM）．
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AHG．
∴

AG

AB

=

AH

AC

．
∴

AG

AB

=

1 2 AB

AC

，
∴AG=

AB2

2AC

．
∴CM═

AC

BC

（AC-

AB2

2AC

-CM）．
∴CM=

AC2

BC

-

AB2

2BC

-

AC

BC

•CM，
∴2BC．CM=2AC²-AB²-2AC．CM，
∴（2BC+2AC）CM=2AC²-AB²，
∴CM=

2AC2-AB2

2BC+2AC

．
∵∠C=90°，AC=7，BC=4，
∴由勾股定理，得
AB=

65

，
∴EM=

2×49-65

2×4+2×7

=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时由轴对称的性质求解是关键．