Question

1．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CA=CB，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E．
（1）求证：AD=CE；
（2）连接AE，若AB=5$\sqrt{2}$，BE=3，求四边形AEBC的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）证出∠CBE=∠ACD，由AAS证明△ACD≌△CBE，得出对应边相等即可；
（2）连接AE，由勾股定理和等腰直角三角形的性质得出CA=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5，由勾股定理求出AD=CE=4，由全等三角形的性质得出CD=BE=3，求出DE=CE-CD=1，再由勾股定理求出AE即可得出四边形AEBC的周长，四边形AEBC的面积=△ACE的面积+△BCE的面积，代入计算即可．

解答 （1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴，∠ADE=∠ADC=∠E=90°=∠ACB，∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△ACD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}&{\;}\\{∠ADC=∠E}&{\;}\\{AC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE；
（2）解：连接AE，如图所示：
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CA=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5，
∴AD=CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵△ACD≌△CBE，
∴CD=BE=3，
∴DE=CE-CD=1，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴四边形AEBC的周长=AE+BE+BC+AC=$\sqrt{17}$+3+5+5=13+$\sqrt{17}$；
四边形AEBC的面积=△ACE的面积+△BCE的面积=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×4×3=14．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．