Question

(本小题满分9分)
已知：△ABC是任意三角形．
⑴如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点．求证：∠MPN=∠A．
⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．

（请直接将该小问的答案写在横线上．）

Answer 1

（1）略
（2）正确
（3）∠A解析:
⑴证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM，  1分
∴四边形AMPN是平行四边形，    2分
∴∠MPN=∠A.      3分
⑵∠MP1N+∠MP2N=∠A正确.   4分
如图所示，连接MN，     5分

∵，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，，
∴MN∥BC，MN=BC，    6分
∵点P1、P2是边BC的三等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，
7分
∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A.
8分
⑶∠A.     9分