Question

17．直线y=x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，直线y=x-2分别交x轴、y 轴于C、D两点，在直线AB上是否存在一点P，使得S_△PAD=S_△PCD？若存在请求P点坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 分两种情况分别讨论：①当P在x轴的下方时，设P（a，a+3），根据S_△PAD=S_梯形ODPE-S_△PAE-S_△AOD=S_△PCD=S_梯形ODPE+S_△ODC-S_△PCE，列出关于a的方程，解方程即可；②当P在x轴的上方时，设P（a，a+3），根据S_△PAD=S_△PED+S_△ABD-S_△PEB=S_△PCD=S_梯形OCPE+S_△ODC-S_△PDE列出关于a的方程，解方程即可．

解答 解：∵直线y=x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，直线y=x-2分别交x轴、y 轴于C、D两点，
∴A（-3，0），B（0，3），C（2，0），D（0，-2），
∴OA=OB=3，OC=OD=2，
①当P在x轴的下方时，如图1，设P（a，a+3），作PE⊥x轴于E，
∵S_△PAD=S_梯形ODPE-S_△PAE-S_△AOD=$\frac{1}{2}$（OD+PE）•OE-$\frac{1}{2}$AE•PE-$\frac{1}{2}$OA•OD=$\frac{1}{2}$（2-a-3）•（-a）-$\frac{1}{2}$（-a-3）•（-a-3）-$\frac{1}{2}$×3×2=$\frac{1}{2}$（-5a-9）-3，
S_△PCD=S_梯形ODPE+S_△ODC-S_△PCE=$\frac{1}{2}$（OD+PE）•OE+$\frac{1}{2}$OD•OC-$\frac{1}{2}$CE•PE=$\frac{1}{2}$（2-a-3）•（-a）+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$（2-a）（-a-3）=5，
∴$\frac{1}{2}$（-5a-9）-3=5，解得a=-5，
∴P（-5，-2）；
②当P在x轴的下方时，如图2，设P（a，a+3），作PE⊥y轴于E，
∵S_△PAD=S_△PED+S_△ABD-S_△PEB=$\frac{1}{2}$PE•DE+$\frac{1}{2}$BD•OA-$\frac{1}{2}$BE•PE=$\frac{1}{2}$（a+3+2）•a+$\frac{1}{2}$（2+3）×3-$\frac{1}{2}$（a+3-3）=$\frac{1}{2}$（5a+15），
S_△PCD=S_梯形OCPE+S_△ODC-S_△PDE=$\frac{1}{2}$（OC+PE）•OE+$\frac{1}{2}$OD•OC-$\frac{1}{2}$DE•PE=$\frac{1}{2}$（a+2）•（a+3）+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$a（a+3+2）=5，
∴$\frac{1}{2}$（5a+15）=5，解得a=-1，
∴P（-1，2）．
综上，在直线AB上存在一点P，使得S_△PAD=S_△PCD，此时P的坐标为（-5，-2）或（-1，2）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，作出辅助线构建梯形是解题的关键．