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17.直线y=x+3分别交x轴、y轴于A、B两点,直线y=x-2分别交x轴、y 轴于C、D两点,在直线AB上是否存在一点P,使得S△PAD=S△PCD?若存在请求P点坐标,若不存在请说明理由.

分析 分两种情况分别讨论:①当P在x轴的下方时,设P(a,a+3),根据S△PAD=S梯形ODPE-S△PAE-S△AOD=S△PCD=S梯形ODPE+S△ODC-S△PCE,列出关于a的方程,解方程即可;②当P在x轴的上方时,设P(a,a+3),根据S△PAD=S△PED+S△ABD-S△PEB=S△PCD=S梯形OCPE+S△ODC-S△PDE列出关于a的方程,解方程即可.

解答 解:∵直线y=x+3分别交x轴、y轴于A、B两点,直线y=x-2分别交x轴、y 轴于C、D两点,
∴A(-3,0),B(0,3),C(2,0),D(0,-2),
∴OA=OB=3,OC=OD=2,
①当P在x轴的下方时,如图1,设P(a,a+3),作PE⊥x轴于E,
∵S△PAD=S梯形ODPE-S△PAE-S△AOD=$\frac{1}{2}$(OD+PE)•OE-$\frac{1}{2}$AE•PE-$\frac{1}{2}$OA•OD=$\frac{1}{2}$(2-a-3)•(-a)-$\frac{1}{2}$(-a-3)•(-a-3)-$\frac{1}{2}$×3×2=$\frac{1}{2}$(-5a-9)-3,
S△PCD=S梯形ODPE+S△ODC-S△PCE=$\frac{1}{2}$(OD+PE)•OE+$\frac{1}{2}$OD•OC-$\frac{1}{2}$CE•PE=$\frac{1}{2}$(2-a-3)•(-a)+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$(2-a)(-a-3)=5,
∴$\frac{1}{2}$(-5a-9)-3=5,解得a=-5,
∴P(-5,-2);
②当P在x轴的下方时,如图2,设P(a,a+3),作PE⊥y轴于E,
∵S△PAD=S△PED+S△ABD-S△PEB=$\frac{1}{2}$PE•DE+$\frac{1}{2}$BD•OA-$\frac{1}{2}$BE•PE=$\frac{1}{2}$(a+3+2)•a+$\frac{1}{2}$(2+3)×3-$\frac{1}{2}$(a+3-3)=$\frac{1}{2}$(5a+15),
S△PCD=S梯形OCPE+S△ODC-S△PDE=$\frac{1}{2}$(OC+PE)•OE+$\frac{1}{2}$OD•OC-$\frac{1}{2}$DE•PE=$\frac{1}{2}$(a+2)•(a+3)+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$a(a+3+2)=5,
∴$\frac{1}{2}$(5a+15)=5,解得a=-1,
∴P(-1,2).
综上,在直线AB上存在一点P,使得S△PAD=S△PCD,此时P的坐标为(-5,-2)或(-1,2).

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积,作出辅助线构建梯形是解题的关键.

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