Question

阅读理解：对于任意正实数a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有点a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2

ab

（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2

p

，只有当a=b时，a+b有最小值2

p

．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=______时，m+

1

m

有最小值______；
（2）思考验证：如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）．过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．
试根据图形验证a+b≥2

ab

，并指出等号成立时的条件．

Answer 1

（1）∵m+

1

m

≥2

m× 1 m

，
∴当m=1时，m+

1

m

有最小值2；（2分）

（2）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB（1分），
∴CD²=AD•BD=ab（2分），
∵CD＞0，
∴CD=

ab

（1分），
∵r=

a+b

2

，
∴在Rt△OCD中，r=

a+b

2

＞CD，即

a+b

2

＞

ab

（1分），
∴a+b＞2

ab

（1分），
当CD=r即D与O重合时，

a+b

2

=

ab

，
即a+b=2

ab

，
∴a+b≥2

ab

．（2分）