Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c为x轴的一交点为A（-6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G（-2，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；
（3）若点B是抛物线与x轴的另一交点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，把A、C、G三点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）可先求得直线AC的解析式，设P（x，0），可表示出OP、PQ，则可表示出S，再结合二次函数的性质可求得S的最大值；
（3）由条件可求得BD=BC=5，可求得D点坐标，连接DN，根据条件可证明DN∥BC，可得出DN为△ABC的中位线，可求得DM的长，则可求得OM的长，可求得M点的坐标．

解答 解：
（1）把A、C、G三点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{0=36a-6b+c}\\{3=c}\\{3=4a-2b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{b=-\frac{1}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x+3；
（2）∵C（0，3），
∴可设直线AC解析式为y=kx+3，
把A点坐标代入可得0=-6k+3，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3，
设P点坐标为（x，0）（x＜0），则Q点坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+3），
∴PQ=$\frac{1}{2}$x+3，PO=-x，
∴S=$\frac{1}{2}$PQ•PO=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$x+3）（-x）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{9}{4}$，
∴△CPQ的面积S的最大值为$\frac{9}{4}$；
（3）当y=0时，-$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x+3=0，解得x=-6或x=4，
∴B点坐标为（4，0），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠CDB=∠DCB，
∴BD=BC=5，
∴OD=BD-OB=5-4=1，
∴D点坐标为（-1，0），
∴D为AB中点，
如图，连接DN，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，

∴∠NDC=∠DCB，
∴DN∥BC，
∵D是AB中点，
∴N是AC中点，
∴DN是△ABC的中位线，
又DN=DM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∴OM=DM-OD=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴点M坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质、三角形中位线等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中设出P点坐标，表示出PQ、OP的长是解题的关键，注意函数性质的应用，在（3）中求得D点坐标和DM的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质很强，有一定的难度．