Question

14．已知：如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求二次函数的解析式及D点坐标；
（2）点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点C（0，4），点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1可得关于a，b，c的方程组，解方程求得a，b，c的值，从而得到二次函数的解析式，再将点D（2，m）代入二次函数的解析式，得到关于m的方程，求得m的值，从而求解；
（2）先求得A，B点的坐标，过点E作EG⊥QB，根据相似三角形的判定和性质可得EG的值，由于S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ，配方后即可得到S_△DQE有最大值时Q点的坐标．

解答 解：（1）由题意有：
$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a+4b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
所以，二次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∵点D（2，m）在抛物线上，
即m=-$\frac{1}{2}$×2 ²+2+4=4，
所以点D的坐标为（2，4）；
（2）令y=0，即-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解得：x₁=4，x₂=-2
∴A，B点的坐标分别是（-2，0），（4，0）
过点E作EG⊥QB，垂足为G，设Q点坐标为（t，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ与△BDA相似
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{EG}{4}$，
即$\frac{4-t}{6}=\frac{EG}{4}$，
∴EG=$\frac{8-2t}{3}$，
∴S_△BEQ=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{8-2t}{3}$，
∴S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ
=$\frac{1}{2}$×（4-t）×4-S_△BEQ
=2（4-t）-$\frac{1}{3}$（4-t）²
=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$
=-$\frac{1}{3}$（t-1）²+3，
∴当t=1时，S_△DQE有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）．

点评 此题考查了二次函数和x轴的交点问题、用待定系数求函数解析式以及相似三角形的判定和性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是正确作出图形的辅助线．